نحوه گرفتن مشتقات: راهنمای گام به گام ساده
مشتقات یک مفهوم حیاتی در ریاضیات هستند و برای اندازه گیری میزان تغییر یک تابع با توجه به یک یا چند متغیر استفاده می شوند. در این راهنما، ما یک رویکرد گام به گام برای گرفتن مشتقات، همراه با 31 نکته برای کمک به شما در تسلط بر فرآیند ارائه خواهیم کرد.
مرحله 1: تعریف مشتق را درک کنید
مشتق تابع f(x) نسبت به x با f’(x) نشان داده می شود و نشان دهنده نرخ تغییر تابع نسبت به x است. با نزدیک شدن تغییر x به صفر، به عنوان حد ضریب اختلاف تعریف می شود:
f’(x) = lim(h → 0) [f(x + h) – f(x)]/h
مرحله 2: نوع مشتق را شناسایی کنید
دو نوع مشتق وجود دارد:
- مشتق اول (DF): این نشان دهنده نرخ تغییر یک تابع نسبت به یک متغیر است.
- مشتقات مرتبه بالاتر (D^nF): این نشان دهنده نرخ تغییر یک تابع نسبت به چندین متغیر است.
مرحله 3: از قانون Power استفاده کنید
قانون قدرت یک قانون اساسی برای گرفتن مشتقات است. بیان می کند که اگر f(x) = x^n، پس f’(x) = nx^(n-1):
مرحله 4: قانون محصول را اعمال کنید
قانون محصول بیان می کند که اگر f(x) = u(x)v(x)، آنگاه f’(x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x):
مرحله 5: قانون Quotient را اعمال کنید
قانون ضریب بیان می کند که اگر f(x) = u(x)/v(x)، پس f'(x) = (u'(x)v(x) – u(x)v'(x)) / v(x)^2:
نکاتی برای گرفتن مشتقات:
- قبل از گرفتن مشتق، تابع را ساده کنید.
- از قانون قدرت برای توابع به شکل f(x) = x^n استفاده کنید.
- از قانون محصول برای توابع به شکل f(x) = u(x)v(x) استفاده کنید.
- از قانون ضریب برای توابع شکل f(x) = u(x)/v(x) استفاده کنید.
- از قانون زنجیره برای یافتن مشتق تابع ترکیبی استفاده کنید.
- کار خود را با استفاده از تعریف مشتق بررسی کنید.
- با ترکیب عبارت‌های مشابه، پاسخ خود را ساده کنید.
- هنگام کار با اعداد و کسرهای منفی مراقب باشید.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق یک ثابت 0 است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق یک مجموع، مجموع مشتقات است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تفاوت، تفاوت مشتقات است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق یک محصول حاصل ضرب مشتقات است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق یک ضریب ضریب مشتقات است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = e^x f’(x) = e^x است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = ln(x) f’(x) = 1/x است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = sin(x) f’(x) = cos(x) است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = cos(x) f’(x) = -sin(x) است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = tan(x) f’(x) = 1 + tan(x)^2 است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = cot(x) f’(x) = 1 است – cot(x)^2.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = sec(x) f’(x) = 1 + sec(x)^2 است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = csc(x) f’(x) = 1 – csc(x)^2 است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = sinh(x) f’(x) = cosh(x) است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = cosh(x) f’(x) = -sinh(x) است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = tanh(x) f’(x) = 1 – tanh(x)^2 است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = coth(x) f’(x) = 1 – coth(x)^2 است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = sech(x) f’(x) = 1 + sech(x)^2 است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = ch(x) f’(x) = 1 + ch(x)^2 است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = sh(x) f’(x) = 1 + sh(x)^2 است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = th(x) f’(x) = 1 + th(x)^2 است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = tg(x) f’(x) = 1 + tg(x)^2 است.
- از این واقعیت استفاده کنید که مشتق تابع f(x) = cot(x) f’(x) = 1 است – cot(x)^2.
عناوین مرجع معتبر:
- “حساب” اثر مایکل اسپیواک (انتشار شده توسط ناشر)
- «حساب حساب: ماورایی های اولیه» نوشته جیمز استوارت (منتشر شده توسط Cengage Learning)
- «حساب حساب: مفاهیم و زمینه‌ها» نوشته لین لومیس و شلومو استرنبرگ (منتشر شده توسط انتشارات دانشگاه هاروارد)
در نتیجه، گرفتن مشتقات یک مهارت اساسی در حساب دیفرانسیل و انتگرال است که به ما امکان می دهد نرخ تغییر یک تابع را با توجه به یک یا چند متغیر اندازه گیری کنیم. با درک تعریف مشتق و استفاده از قانون قدرتe، قانون محصول، قانون ضریب، و قانون زنجیره، می توانیم مشتقاتی از طیف گسترده ای از توابع را پیدا کنیم. علاوه بر این، با ساده کردن تابع قبل از گرفتن مشتق و بررسی کار خود، می‌توانیم از درست و معنادار بودن پاسخ‌هایمان اطمینان حاصل کنیم.
