نحوه یافتن سری فوریه یک تابع: 6 مرحله
سری فوریه یک نمایش ریاضی از یک تابع تناوبی بر حسب توابع سینوس و کسینوس است. این به ما امکان می دهد یک تابع پیچیده را به اجزای مثلثاتی ساده تر تجزیه کنیم. یافتن سری فوریه یک تابع شامل یک سری مراحل است که در زیر به آنها اشاره خواهیم کرد.
مرحله 1: تعیین دوره عملکرد
اولین قدم برای یافتن سری فوریه یک تابع، تعیین دوره آن است. دوره، طول یک چرخه کامل تابع است. اگر تابع تناوبی نباشد، نمی توان آن را با سری فوریه نشان داد.
مرحله 2: تابع را به صورت مجموع نامتناهی بیان کنید
هنگامی که دوره تابع را تعیین کردید، آن را به صورت مجموع بی نهایت سینوس و کسینوس با استفاده از فرمول زیر بیان کنید:
f(x) = a₀ + Σ(aₙcos(nω₀x) + bₙsin(nω₀x))در این فرمول، a₀ نشان دهنده مقدار متوسط تابع در یک دوره، aₙ و است. bₙ ضرایبی هستند که دامنه و فاز هر جزء سینوس و کسینوس را تعیین می کنند، n نشان دهنده عدد هارمونیک است، ω₀ برابر است با 2π/T، که در آن T دوره تابع است و x متغیر است.
مرحله 3: محاسبه ضرایب
برای یافتن ضرایب a₀، aₙ و bₙ، باید هر دو طرف معادله را از مرحله 2 در یک دوره ادغام کنید. این شامل ارزیابی انتگرال های معین برای هر عبارت در سری است.
برای a₀، از فرمول زیر استفاده کنید:
a₀ = (1/T) ∫[T] f(x) dxبرای aₙ، استفاده کنید:
aₙ = (2/T) ∫[T] f(x) cos(nω₀x) dxو برای bₙ، استفاده کنید:
bₙ = (2/T) ∫[T] f(x) sin(nω₀x) dxمرحله 4: ضرایب را ساده کنید
پس از محاسبه ضرایب، آنها را با ارزیابی انتگرال ها ساده کنید. این شامل حل انتگرال های معین و استفاده از هویت های مثلثاتی برای ساده سازی عبارات است.
مرحله 5: سری فوریه را بنویسید
پس از تعیین ضرایب ساده شده، سری فوریه را با استفاده از فرمول مرحله 2 بنویسید. a₀، aₙ و < را جایگزین کنید. code class="inline">bₙ با مقادیر مربوطه خود.
مرحله 6: بررسی همگرایی
در نهایت، بررسی همگرایی سری فوریه مهم است. برخی از توابع ممکن است به طور یکنواخت یا نقطه ای همگرا نشوند، به این معنی که سری فوریه ممکن است به طور دقیق تابع اصلی را در مناطق خاصی نشان ندهد. شرایط همگرایی را بررسی کنید و مطمئن شوید که مسائل احتمالی مربوط به همگرایی را تجزیه و تحلیل کنید.
با انجام این شش مرحله، می توانید سری فوریه یک تابع را پیدا کرده و آن را به صورت مجموع نامتناهی از اجزای سینوس و کسینوس نشان دهید.
3 انتشارات مرجع معتبر یا نام دامنه استفاده شده:
- MathWorld – www.mathworld.wolfram.com
- MIT OpenCourseWare – ocw.mit.edu
- آکادمی خان – www.khanacademy.org
