نحوه یافتن مشتق از نمودار: روش ها و مثال
یافتن مشتق یک تابع از نمودار آن شامل تعیین شیب خط مماس در هر نقطه معین از نمودار است. این فرآیند به ما امکان می دهد بفهمیم که چگونه عملکرد در نقاط مختلف تغییر می کند و اطلاعات ارزشمندی در مورد رفتار آن ارائه می دهد. در اینجا شش مرحله وجود دارد که به شما کمک می کند مشتق از نمودار را پیدا کنید:
مرحله 1: نقطه مورد علاقه را شناسایی کنید با انتخاب نقطه خاصی از نمودار که می‌خواهید مشتق را پیدا کنید، شروع کنید. این نقطه به عنوان مرجع برای محاسبه شیب خط مماس عمل می کند.
مرحله 2: یک نقطه دوم را انتخاب کنید سپس، نقطه دومی را از نمودار انتخاب کنید که بسیار نزدیک به نقطه مورد نظر است. در حالت ایده آل، این نقطه دوم باید بی نهایت به نقطه اصلی نزدیک باشد، اما در عمل، می توانید یک نقطه نزدیک را انتخاب کنید که هنوز به طور منطقی نزدیک است.
مرحله 3: تغییر در x و y را تعیین کنید تغییر x (Δx) و y (Δy) را بین دو نقطه انتخاب شده محاسبه کنید. Δx نشان دهنده فاصله افقی بین این نقاط است، در حالی که Δy نشان دهنده تفاوت عمودی آنها است.
مرحله 4: محاسبه شیب با استفاده از مقادیر به دست آمده در مرحله 3، شیب خط برش را که از هر دو نقطه می گذرد محاسبه کنید. فرمول شیب به صورت زیر ارائه می شود:
شیب = Δy / Δx
مرحله 5: رویکرد Δx را صفر کنید برای به دست آوردن یک مقدار مشتق دقیق، باید رویکرد Δx را صفر کنیم. این بدان معنی است که وقتی Δx را کوچکتر و کوچکتر می کنیم، چه اتفاقی برای شیب می افتد. به عبارت دیگر، با نزدیک شدن Δx به صفر، سعی می کنیم حد شیب را پیدا کنیم.
مرحله 6: مقدار مشتق حد شیب زمانی که Δx به صفر نزدیک می شود، مقدار مشتق را در آن نقطه خاص در نمودار نشان می دهد. این نشان می دهد که عملکرد در آن نقطه چقدر سریع یا آهسته تغییر می کند.
به طور خلاصه، فرآیند یافتن مشتق از نمودار شامل انتخاب یک نقطه، انتخاب یک نقطه دوم نزدیک، محاسبه شیب خط برش بین این نقاط، و سپس گرفتن حد شیب با نزدیک شدن Δx به صفر است.
مثال: اجازه دهید مثالی را برای توضیح این فرآیند در نظر بگیریم. فرض کنید یک نمودار از یک تابع f(x) داریم و می‌خواهیم مشتق را در x = 2 پیدا کنیم. با دنبال کردن مراحل ذکر شده در بالا، می‌توانیم مقدار مشتق را در این نقطه تعیین کنیم.
- نقطه مورد علاقه را شناسایی کنید: ما x = 2 را به عنوان نقطه مورد نظر خود انتخاب می کنیم.
- نقطه دوم را انتخاب کنید: نقطه دیگری را در نمودار نزدیک به x = 2 انتخاب می کنیم، فرض کنید x = 2.1.
- تغییر x و y را تعیین کنید: Δx = 2.1 – 2 = 0.1 و Δy = f(2.1) – f(2).
- محاسبه شیب: با استفاده از مقادیر مرحله 3، شیب خط برش عبوری از (2, f(2)) و (2.1, f(2.1)) را محاسبه می کنیم.
- رویکرد Δx را صفر کنید: مراحل 2-4 را با مقادیر کوچکتر Δx، مانند 0.01، 0.001 و غیره تکرار می کنیم تا نحوه تغییر شیب را مشاهده کنیم.
- مقدار مشتق: حد شیب با نزدیک شدن Δx به صفر، مقدار مشتق را در x = 2 به ما می دهد.
با اعمال مکرر این مراحل با مقادیر کوچکتر Δx، می توانیم مقدار مشتق را با دقت بیشتری تقریب کنیم.
3 انتشارات مرجع معتبر یا نام دامنه مورد استفاده در پاسخ به این سوال:
- خان آکادمی (www.khanacademy.org) – یک پلت فرم آموزشی آنلاین معتبر که منابع جامعی را در مورد موضوعات مختلف از جمله حساب دیفرانسیل و انتگرال و مشتقات ارائه می دهد.
- ریاضی سرگرم کننده است (www.mathisfun.com) – یک وب سایت آموزشی که توضیحات، مثال ها و ابزارهای تعاملی را برای درک مفاهیم ریاضی، از جمله مشتقات ارائه می دهد.
- Calculus.org (www.calculus.org) – وب سایتی اختصاص داده شده به آموزش حساب دیفرانسیل و انتگرال، ارائه منابعی برای یادگیری و درک موضوعات حساب دیفرانسیل و انتگرال، از جمله مشتقات.
