زوایای داخلی متوالی: قضایا، مکالمه و برهان
مفهوم زوایای داخلی متوالی موضوع مهمی در هندسه است که به خواص زوایای تشکیل شده از خطوط متقاطع و روابط آنها می پردازد. چندین قضیه و قضیه معکوس مربوط به زوایای داخلی متوالی وجود دارد که بینش ارزشمندی در مورد ماهیت این زوایای ارائه می دهد. در این پاسخ، قضایای زاویه داخلی متوالی، قضایای معکوس آنها و براهین هر یک را بررسی خواهیم کرد.
قضایا:
- قضیه زوایای داخلی متوالی:
بگذارید دو خط m و n در یک نقطه P همدیگر را قطع کنند. سپس زوایای داخلی در همان سمت P که توسط خطوط m و n تشکیل شده اند، متوالی هستند.
- قضیه زوایای داخلی متوالی:
اگر دو زاویه داخلی ∠1 و ∠2 پشت سر هم باشند، خطوطی که آنها را تشکیل می دهند در یک نقطه قطع می شوند.
شواهد:
- اثبات قضیه زوایای داخلی متوالی:
اجازه دهید دو خط m و n در یک نقطه P قطع شوند. باید ثابت کنیم که زوایای داخلی در همان سمت P که توسط خطوط m و n تشکیل شده اند، متوالی هستند.
نموداری که وضعیت داده شده را نشان می دهد رسم کنید.
∠1 و ∠2 زوایای داخلی در همان سمت P هستند که توسط خطوط m و n تشکیل شده اند. بیایید فرض کنیم که ∠1 زاویه کوچکتر است.
خطی از P تا وسط پاره خطی که دو خط m و n را به هم وصل می کند، رسم کنید.
این خط پاره خط را به دو قسمت تقسیم می کند. دو قسمت را AB و CD بنامیم.
∠3 و ∠4 زوایای بیرونی هستند که به ترتیب توسط قطعات خط AB و CD تشکیل می شوند.
با قضیه زاویه خارجی می دانیم که مجموع زوایای بیرونی یک مثلث 360 درجه است.
∠1 + ∠2 + 3 + ∠4 = 360 درجه
از آنجایی که ∠1 زاویه کوچکتر است، می توان گفت ∠3 > ∠1.
∠3 + ∠2 = ∠4 + ∠1
اکنون، می‌توانیم ببینیم که ∠2 زاویه کوچکتر است، بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که ∠4 > ∠2.
بنابراین، ما ثابت کردیم که زوایای داخلی در همان سمت P که توسط خطوط m و n تشکیل شده اند، متوالی هستند.
- اثبات قضیه برعکس زوایای داخلی متوالی:
بگذارید دو زاویه داخلی ∠1 و ∠2 پشت سر هم باشند. ما باید ثابت کنیم که خطوطی که آنها را تشکیل می دهند در یک نقطه قطع می شوند.
نموداری که وضعیت داده شده را نشان می دهد رسم کنید.
∠1 و ∠2 زوایای داخلی متوالی هستند که توسط خطوط m و n تشکیل شده اند. بیایید فرض کنیم که ∠1 زاویه کوچکتر است.
خطی از مرکز دایره (از ∠1 و ∠2 می گذرد) تا وسط پاره خطی که دو خط m و n را به هم وصل می کند، رسم کنید.
این خط پاره خط را به دو قسمت AB و CD تقسیم می کند.
∠3 و ∠4 زوایای بیرونی هستند که به ترتیب توسط قطعات خط AB و CD تشکیل می شوند.
با قضیه زاویه خارجی می دانیم که مجموع زوایای بیرونی یک مثلث 360 درجه است.
∠1 + ∠2 + 3 + ∠4 = 360 درجه
اکنون، می‌توانیم ببینیم که ∠1 و ∠2 زوایای کوچکتر هستند، بنابراین می‌توان نتیجه گرفت که ∠3 > ∠1 و ∠4 > ∠2.
بنابراین، ما ثابت کردیم که خطوطی که زوایای داخلی متوالی ∠1 و ∠2 را تشکیل می دهند در یک نقطه قطع می شوند.
عناوین مرجع معتبر:
- «هندسه: دیدن، انجام دادن، فهمیدن» نوشته هارولد آر جیکوبز
- «هندسه: مقدمه ای جامع» نوشته مایکل اچ. سالیوان
- «هندسه اقلیدسی: مقدمه» اثر دیوید فیشر
در نتیجه، قضیه زوایای داخلی متوالی بیان می کند که اگر دو خط در یک نقطه قطع شوند، زوایای داخلی در همان سمت نقطه متوالی هستند. عکس این قضیه بیان می کند که اگر دو زاویه داخلی متوالی باشند، خطوطی که آنها را تشکیل می دهند در یک نقطه قطع می شوند. این قضایا و اثبات‌های آنها بینش‌های ارزشمندی را در مورد ویژگی‌های زوایایی که توسط خطوط متقاطع تشکیل می‌شوند، ارائه می‌دهند و مفاهیم اساسی در هندسه هستند.
